I teoremi 3.2.6 e 3.3.18 permettono di identificare canonicamente lo spazio
Vogliamo ora correlare questi ultimi due spazi tra loro, senza passare per lo spazio tangente geometrico e le derivate direzionali.
Seguiamo la stessa procedura adottata per le derivate direzionali in 3.3 - Fare Analisi con l'Algebra > Derivate direzionali tramite
Prendiamo quindi
troviamo così l'applicazione
Nasce così la mappa
Osserviamo anche che questa corrispondenza è biunivoca, in quanto pari alla composizione
L'obiettivo che ci poniamo è dimostrare questo fatto, senza fare uso dello spazio tangente geometrico e delle derivate direzionali.
Cerchiamo innanzitutto di capire, passo dopo passo, come avviene il processo di passaggio da
Sia
Si hanno i seguenti fatti:
Dimostrazione
Per semplicità denotiamo la classe
Facciamo vedere che
dati
Mostriamo ora la regola del prodotto.
Per prima cosa, osserviamo che
In virtù di questa uguaglianza, abbiamo allora
Grazie all'operatore
Si consideri la mappa lineare
Si hanno i seguenti fatti:
Dimostrazione
Che
Il fatto che
Questo teorema ha una conseguenza notevole.
Abbiamo infatti che, per ogni
Cioè, una qualunque derivazione in
Per questo motivo,
Osserviamo che la definizione di derivazione può essere estesa a strutture più generali.
Una di queste strutture è quella di modulo, che potrebbe risultare nuova;
diamone quindi la definizione.
Sia
Un insieme
In termini precisi,
Definiamo anche l'equivalente degli operatori lineari per i moduli:
Sia
siano
Una funzione
Un omomorfismo di
L'insieme delle applicazioni
esso è ancora un
In particolare, l'
Fatto ciò, possiamo procedere con la definizione generale di derivazione.
Sia
Sia
sia
Si dice
L'insieme delle
Per semplicità identificheremo
Non è richiesto che
Nonostante ciò,
infatti, l'additività è data dalla definizione, e per ogni
Perdipiù osserviamo che, per una derivazione, la
Infatti, la
per ogni
Quindi, richiedere le tre proprietà della Definizione 3.4.5 equivale a richiedere la
Già abbiamo incontrato un esempio di derivazione in questo senso più ampio:
l'operatore
Ora che abbiamo definito le derivazioni in un contesto generale, possiamo fornire una generalizzazione del Teorema 3.4.2:
Sia
Esistono un unico
Per ogni
Dimostrazione
Costruiamo
Formalmente, definiamo quindi
Definiremo quindi la derivazione
Si vede poi che
la loro unicità segue dalla costruzione.
Come nel caso del Teorema 3.4.2, abbiamo ricavato una proprietà universale.
La mappa
in altre parole, abbiamo anche qui il diagramma commutativo:
Diamo un nome a questi oggetti speciali.
Sia
L'
la derivazione
Come conseguenza di questa proprietà universale abbiamo il seguente
Sia
Per ogni
Come ultima cosa, facciamo un'importante
Consideriamo l'
Ad esempio, consideriamo la funzione esponenziale
secondo il differenziale ordinario troviamo che