Note 2
3.4 - Derivazioni

I teoremi 3.2.6 e 3.3.18 permettono di identificare canonicamente lo spazio dei vettori tangenti geometrici in con lo spazio delle derivazioni in e/o con lo spazio tangente di Zariski .

Vogliamo ora correlare questi ultimi due spazi tra loro, senza passare per lo spazio tangente geometrico e le derivate direzionali.

Derivazioni e spazio tangente di Zariski
...

Prendiamo quindi , dopodiché restringiamo il dominio a e lo quozientiamo modulo ;
troviamo così l'applicazione Con ragionamenti analoghi a quelli fatti nella sezione precedente vediamo che questa mappa è un'applicazione -lineare, dunque un elemento di , lo spazio tangente di Zariski.
Nasce così la mappa che vediamo subito essere lineare.
Osserviamo anche che questa corrispondenza è biunivoca, in quanto pari alla composizione , dove e sono le mappe indicate nei teoremi 3.2.6 e 3.3.18 rispettivamente.

L'obiettivo che ci poniamo è dimostrare questo fatto, senza fare uso dello spazio tangente geometrico e delle derivate direzionali.

L'operatore e l'inversa di
...

Cerchiamo innanzitutto di capire, passo dopo passo, come avviene il processo di passaggio da al quoziente , che utilizziamo per trasformare una derivazione in .

  • Per prima cosa, ci restringiamo a ;
    relativamente alle derivate direzionali, avevamo giustificato questa scelta con il fatto che la derivata direzionale di una funzione non cambia se a questa aggiungiamo una costante.
    Con questa idea in mente, eseguiamo questa restrizione tramite la mappa
  • In secondo luogo, quozientiamo modulo ;
    la motivazione relativa alle derivate direzionali era in questo caso di liberarsi dei termini quadratici e di grado superiore nell'approssimare una funzione localmente intorno a .
    Questo passo avviene tramite la proiezione canonica La mappa composta che corrisponde al nostro passaggio da a è quindi data dalla composizione di queste due mappe, che denotiamo con : Vediamo che questo operatore ha delle proprietà simili a quelle di una derivazione:
Proposizione 3.4.1 (Proprietà di ).

Sia .

Si hanno i seguenti fatti:

  • L'operatore è -lineare;
  • Vale la seguente regola del prodotto:

Dimostrazione

Per semplicità denotiamo la classe con .

Facciamo vedere che è lineare;
dati e abbiamo

Mostriamo ora la regola del prodotto.
Per prima cosa, osserviamo che da cui segue che

In virtù di questa uguaglianza, abbiamo allora

​
Grazie all'operatore possiamo trovare l'inversa di , mostrando così che questa mappa è un isomorfismo di spazi vettoriali.

Teorema 3.4.2 (Isomorfismo naturale tra e ).

Si consideri la mappa lineare .

Si hanno i seguenti fatti:

  • Per ogni , la composizione è una derivazione in ;
  • La mappa è l'inversa di , che dunque è un isomorfismo di -spazi vettoriali.

Dimostrazione

Che sia una derivazione in per ogni segue piuttosto immediatamente dalla Proposizione 3.4.1 e dalla linearità di .

Il fatto che e siano una l'inversa dell'altra segue dal fatto che è l'operatore di passaggio canonico da a , pertanto:

  • per ogni ;
  • per ogni .

Questo teorema ha una conseguenza notevole.

Abbiamo infatti che, per ogni , esiste un'unica , tale che , ossia sia verificato il seguente diagramma commutativo:

Pasted image 20240122073924.png#center

Cioè, una qualunque derivazione in si ottiene in maniera unica passando prima da a tramite , e poi componendo questa con un funzionale lineare .

Per questo motivo, prende il nome di derivazione universale, e si dice che è uno spazio universale per le derivazioni.

Derivazioni generalizzate
...

Osserviamo che la definizione di derivazione può essere estesa a strutture più generali.

Una di queste strutture è quella di modulo, che potrebbe risultare nuova;
diamone quindi la definizione.

Definizione 3.4.3 (Modulo su un anello).

Sia un anello commutativo unitario.

Un insieme si dice modulo su (o -modulo) quando ha la stessa struttura di uno spazio vettoriale, i cui scalari sono dati da .
In termini precisi, è dotato di una somma rispetto a cui è un gruppo abeliano, e un prodotto esterno con le seguenti proprietà:

  • Associatività: per ogni e ;
  • Identità: per ogni ;
  • Distributività: per ogni e .

Definiamo anche l'equivalente degli operatori lineari per i moduli:

Definizione 3.4.4 (Omomorfismi e isomorfismi di moduli, Duale di un modulo).

Sia un anello commutativo unitario;
siano e due -moduli.

Una funzione si dice omomorfismo di -moduli (o applicazione -lineare) quando:

  • è additiva: per ogni ;
  • preserva il prodotto esterno: per ogni .

Un omomorfismo di -moduli biunivoco si dice isomorfismo di -moduli.

​
L'insieme delle applicazioni -lineari tra e si denota con ;
esso è ancora un -modulo, con le operazioni di somma e prodotto esterno puntuali:

In particolare, l'-modulo si dice duale di , e si denota con .

​
Fatto ciò, possiamo procedere con la definizione generale di derivazione.

Definizione 3.4.5 (Derivazione da un'algebra ad un modulo).

Sia un campo.
Sia una -algebra commutativa, associativa e unitaria;
sia un -modulo.

Si dice -derivazione da in una mappa , soddisfacente le seguenti proprietà:

  • ​Derivazione delle costanti: per ogni ;
  • ​Additività: per ogni ;
  • ​Identità di Leibniz: per ogni .

L'insieme delle -derivazioni da in si denota con .

Per semplicità identificheremo in , tramite la corrispondenza iniettiva .

Osservazione 3.4.6 (Linearità delle derivazioni).

Non è richiesto che sia -lineare.

Nonostante ciò, è sicuramente -lineare;
infatti, l'additività è data dalla definizione, e per ogni si ha

Perdipiù osserviamo che, per una derivazione, la -linearità equivale alle prime due proprietà.
Infatti, la -linearità implica subito l'additività, e tramite l'identità di Leibniz otteniamo da cui segue ;
per ogni abbiamo allora

Quindi, richiedere le tre proprietà della Definizione 3.4.5 equivale a richiedere la -linearità e l'identità di Leibniz.

Già abbiamo incontrato un esempio di derivazione in questo senso più ampio:
l'operatore definito prima appartiene infatti a .

Il modulo dei differenziali di Kähler
...

Ora che abbiamo definito le derivazioni in un contesto generale, possiamo fornire una generalizzazione del Teorema 3.4.2:

Teorema 3.4.7 (Spazio universale per le derivazioni generalizzate).

Sia un campo, e sia una -algebra.

Esistono un unico -modulo e un'unica -derivazione soddisfacenti la seguente proprietà:
Per ogni -modulo e per ogni derivazione , esiste un'unica mappa , tale che .

Dimostrazione

Costruiamo come -modulo generato dalle espressioni formali al variare di , imponendo le seguenti uguaglianze:

  • per ogni ;
  • per ogni ;
  • per ogni .

Formalmente, definiamo quindi

Definiremo quindi la derivazione inviando il generico alla classe : Per le uguaglianze imposte sulle classi, abbiamo che è effettivamente una derivazione ben definita.

Si vede poi che e soddisfano la proprietà descritta;
la loro unicità segue dalla costruzione.

Come nel caso del Teorema 3.4.2, abbiamo ricavato una proprietà universale.
La mappa è la migliore derivazione possibile, nel senso che qualsiasi altra derivazione su qualunque -modulo può essere ottenuta da essa mediante composizione (a sinistra) con un'applicazione -lineare da a ;
in altre parole, abbiamo anche qui il diagramma commutativo:

Pasted image 20240122085326.png#center

Diamo un nome a questi oggetti speciali.

Definizione 3.4.8 (Modulo dei differenziali di Kähler, Derivazione universale).

Sia un campo, e sia una -algebra.

L'-modulo è detto modulo dei differenziali di Kähler di su ;
la derivazione è detta derivazione universale su .

Come conseguenza di questa proprietà universale abbiamo il seguente

Corollario 3.4.9 (Isomorfismo naturale tra e ).

Sia un campo, e sia una -algebra.

Per ogni -modulo , è un isomorfismo di -moduli la mappa

​
Come ultima cosa, facciamo un'importante

Osservazione 3.4.10 (Confronto tra differenziale ordinario e di Kähler).

Consideriamo l'-algebra , il differenziale di Kähler non corrisponde al differenziale dell'analisi ordinaria.

Ad esempio, consideriamo la funzione esponenziale ;
secondo il differenziale ordinario troviamo che , mentre rispetto al modulo i due elementi sono distinti.

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3.4 - Derivazioni

Derivazioni e spazio tangente di Zariski

L'operatore e l'inversa di

Derivazioni generalizzate

Il modulo dei differenziali di Kähler